M este mijlocul laturii BC ⇒ BM = BC/2 = 3/2 = 1,5 m.
Unim A cu M și evident O se află pe AM, iar OM = AM/3.
Triunghiul AMB este dreptunghic în M și are ipotenuza AB = 3 și
cateta BM=1,5.
Cu teorema lui Pitagora ⇒ AM² = AB²- BM² =3² -1,5² = (2·1,5)² -1,5² =
= 4·1,5²-1,5² = 1,5² (4 - 1) = 1,5²·3 ⇒ AM = √(1,5²·3) ⇒ AM = 1,5√3 m
MO = AM/3 = 1,5√3/3 = 0,5√3 m.
Triunghiul DOM este dreptunghic în O și cu teorema lui Pitagora ⇒
⇒ DO² = DM² - OM² ⇒ DO² = 1² - (0,5√3)² = 1 - 0,25·3 = 1- 0,75 = 0,25 ⇒
⇒ DO = √0,25 = 0,5 m.
b) VD = 9DO = 9·0,5 = 4,5 m
VO = VD + DO = 4,5 + 0,5 = 5 m.
c) Unghiul unei drepte cu un plan este unghiul pe care dreapta îl face cu
proiecția ei pe plan.
În cazul problemei date, unghiul dintre DA și planul (ABC) ete unghiul dintre DA
și AO, adică unghiul DAO, din triunghiul ODA, dreptunghic în O.
AO = 2· OM = 2·0,5√3 = √3.
Aplicăm tgA în triunghiul ODA ⇒ tgA = cateta opusă/cateta alăturată ⇒
⇒ tgA = DO/AO = 0,5/√3.
Raționalizăm numitorul și obținem:
tgA = 0,5√3/3 = (1/2)√3/3 = √3/6
