a) Desenăm rombul PACE cu m(Â) = 60° și ducem diagonala PC.
Triunghiul ACP este isoscel, AC = AP = l (latura rombului).
Știm că un triunghi isoscel cu un unghi de 60° este echilateral, deci triunghiul ACP - echilateral ⇒ AC = CP = PA = l
Ducem mediana AO, cu O pe CP ⇒ OP = CP/2 = l/2.
Mediana AO este și înălțime în triunghiul ACP și aplicând teorema lui
Pitagora în acest triunghi obținem:
AO ² = AP² - OP² = l² - (l/2)² =l² - l²/4 = 3l²/4 ⇒ AO = l√3/2
Prelungind AO până la punctul E se obține diagonala AE a rombului.
Acum ducem SP⊥ (PACE) (1)
PO ⊥ AE (2)
PO, AE ⊂ (PACE) (3)
Din relațiile (1), (2), (3) rezultă, cu teorema celor trei perpendiculare, că
SO ⊥ AE ⇒ d(S, AE) = SO
Triunghiul SPO este dreptunghic în P și avem: SO = a√2, SP = a.
Cu teorema lui Pitagora se determină OP = a.
Dar, am văzut mai sus că OP = l/2.
Așadar, l/2 = a ⇒ l = 2a .
Acum laturile triunghiului AOP devin :
AP = 2a, OP = a, AO = a√3 .
b) Avem SP ⊥ (PACE) (1)
Ducem PQ ⊥ CE (2)
PQ, CE ⊂ (PACE) (3)
Din relațiile (1), (2), (3), cu teorema celor trei perpendiculare, ⇒ SQ ⊥ CE ⇒
⇒ d(S, CE) = SQ
PQ este înălțime în triunghiul echilateral EPC, deci PQ = AO = a√3.
Comparând ΔPAO cu Δ SQP, observăm că ele sunt congruente (C.C.)
Așadar, SQ = PA = 2a ⇒ d(S, CE) = SQ = 2a
