a)
[tex]f(x)= \frac{1}{x^2+1}\\\\
\int\limits^1_0 {xf(x)} \, dx = \int\limits^1_0 { \frac{x}{x^2+1} } \, dx[/tex]
Pentru a calcula acestă integrală, trebuie să o modificăm astfel încât să ajungem la o formă cunoscută și anume:
[tex] \int \frac{u'(x)}{u(x)}\, dx =ln|u(x)|[/tex]
În problema dată,
[tex]u(x)=x^2+1[/tex]
Pentru a aplica formula, avem nevoie la numărător de [tex](x^2+1)'=2x[/tex], însă noi avem doar x.
Pentru a forma 2-ul, înmulțim integrala cu [tex] \frac{2}{2} = \frac{1}{2} *2[/tex] și îl introducem pe doi la numărător, pentru a aplica formula.
Adică:
[tex]\int\limits^1_0 { \frac{x}{x^2+1} } \, dx=\frac{2}{2}*\int\limits^1_0 { \frac{x}{x^2+1} } \, dx=\frac{1}{2}*2*\int\limits^1_0 { \frac{x}{x^2+1} } \, dx=\frac{1}{2}*\int\limits^1_0 { \frac{2x}{x^2+1} } [/tex]
Acum că avem la numărător derivata numitorului, putem aplica formula.
Deci:
[tex]\frac{1}{2}*\int\limits^1_0 { \frac{2x}{x^2+1} } = \frac{1}{2} ln(x^2+1) [/tex] de la 0 la 1.
Adică
[tex]\frac{1}{2}*\int\limits^1_0 { \frac{2x}{x^2+1} } =\frac{1}{2}ln(1^2+1)-\frac{1}{2}ln(0^2+1)= \frac{ln2}{2} -\frac{1}{2}*0=\frac{ln2}{2} [/tex]
b) [tex] \int\limits^1_0 {xf'(x)} \, dx [/tex] se calculează prin integrarea prin părți.
Formula de la integrarea prin părți este:
[tex] \int p(x)*g'(x) \, dx =p(x)*g(x)-\int p'(x)*g(x)[/tex]
În cazul nostru,
[tex]p(x)=x, p'(x)=(x)'=1\\\\ iar\\\\ g'(x)=f'(x), g(x)=\int f'(x)=f(x)[/tex]
Acum că am identificat tot ce ne trebuie, înlocuim în formula integrării prin părți:
[tex]\int\limits^1_0 {xf'(x)}=xf(x)-\int 1*f(x)=xf(x)-\int f(x)[/tex]
Vom lua separat integrala [tex]\int f(x)[/tex] pentru a o calcula.
[tex]\int f(x)=\int \frac{1}{x^2+1} [/tex]
Pentru asta aplicăm formula:
[tex]\int \frac{1}{x^2+a^2}= \frac{1}{a}arctg( \frac{x}{a}) [/tex]
Înlocuind cu a=1, rezultă:
[tex]\int \frac{1}{x^2+1}= \frac{1}{1} arctg( \frac{x}{1})=arctgx [/tex]
Deci:
[tex]xf(x)-\int f(x)= \frac{x}{x^2+1} -arctgx[/tex] de la 0 la 1.
Adică:
[tex] \int\limits^1_0 {xf'(x)} =\frac{1}{1^2+1}arctg1- \frac{0}{0^2+1}arctg0 [/tex]
De menționat că [tex]arctg(1)= \frac{\pi}{4} [/tex] iar [tex]arctg(0)=0[/tex].
Deci:
[tex]\int\limits^1_0 {xf'(x)}=\frac{1}{2}* \frac{\pi}{4} - 0*0= \frac{\pi}{8} [/tex]
