[tex]f(x)=\frac{x+5}{x-5} [/tex]
Avem formulă pentru ecuația tangentei:
[tex]y-y_0=m(x-x_0)
[/tex]
Pentru a o aplica, avem nevoie să cunoaștem [tex]x_0, y_0[/tex] si [tex]m[/tex].
[tex]x_0[/tex] îl cunoaștem din datele problemei (este egal cu 0).
[tex]y_0=f(x_0)[/tex], iar [tex]m=f'(x_0)[/tex]
Deci:
[tex]y_0=f(x_0) \\\\y_0=f(0)\\\\y_0= \frac{0-5}{0+5} =-1[/tex]
[tex]m=f'(x_0)\\\\m=f'(0)[/tex]
Pentru a calcula f'(0), calculăm mai întâi f'(x) și înlocuim pe x cu 0 în derivată.
[tex]f'(x)= (\frac{x+5}{x-5} )'[/tex]
Se derivează după formula [tex]( \frac{f}{g} )'= \frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}[/tex].
Deci:
[tex]f'(x)= \frac{(x+5)'\cdot(x-5)-(x+5)(x-5)'}{(x-5)^2} \\\\
f'(x)=\frac{1\cdot(x-5)-(x+5)\cdot 1}{(x-5)^2}\\\\
f'(x)= \frac{x-5-x-5}{(x-5)^2} \\\\
f'(x)=- \frac{10}{(x-5)^2} \Rightarrow f'(0)=- \frac{10}{(0-5)^2} =- \frac{10}{25} =- \frac{2}{5} [/tex]
[tex]m=- \frac{2}{5} [/tex]
Acum că am aflat tot ce ne trebuie, le înlocuim în formulă:
[tex]y-y_0=m(x-x_0) \Rightarrow\\\\ y-(-1)=-\frac{2}{5}(x-0)\\\\
y+1=-\frac{2}{5}x\\\\
\frac{2}{5}x+y+1=0/\cdot (5)\\\\
2x+5y+5=0 \leftarrow ecuatia~tangentei~in~x_0=0[/tex]
