[tex]mx^2-2(m-2)x-m-10=0[/tex]
Pentru început, ca să aibă două soluții reale distincte, [tex]\Delta[/tex] trebuie să fie mai mare decât 0.
[tex]\Delta\ \textgreater \ 0 \Leftrightarrow [-2(m-2)]^2-4m(-m-10)\ \textgreater \ 0 \Rightarrow\\\\
4m^2-16m+16+4m^2+40m\ \textgreater \ 0 \Rightarrow\\\\
8m^2+24m+16\ \textgreater \ 0/:8 \Rightarrow\\\\
m^2+3m+2\ \textgreater \ 0[/tex]
De unde aflăm [tex]m_1=-2[/tex] și [tex]m_2=-1[/tex].
Deci, o primă condiție [tex]m\in(-\infty;-2)\cup(-1;\infty)~~~~(I)[/tex].
Apoi, dacă soluțiile au semne contrare, însemnă că produsul lor va fi un număr negativ, adică mai mic decât 0, iar din relațiile lui Viète pentru ecuația de gradul al II-lea, cunoaștem că produsul [tex]x_1x_2=\frac{c}{a} [/tex].
Deci:
[tex]\frac{c}{a}\ \textless \ 0 \Leftrightarrow \frac{-m-10}{m} \ \textless \ 0 \Leftrightarrow \frac{-(m+10)}{m} \ \textless \ 0[/tex]
Pentru a rezolva această inecuație, poți face tabel de semn pentru numărător, pentru numitor, și să cauți intervalele pe care au semne contrare, unde câtul lor este mai mic decât 0.
Sau - altă variantă - știind că dacă împarți pe -(m+10) la m, dă un număr mai mic decât zero, înseamnă că au semne contrare, așa că și produsul lor va fi mai mic decât 0.
Deci:
[tex]-(m+10)m\ \textless \ 0[/tex]
Cele două soluții sunt [tex]m_1=-10[/tex] și [tex]m_2=0[/tex]. Știind că între rădăcini este semn contrar lui [tex]a[/tex], adică plus, iar în afara rădăcililor semnul lui [tex]a[/tex], adică minus (ceea ce ne intereseză pe noi) rezultă o a doua condiție:
[tex]m\in(-\infty;-10)\cup (0;\infty)~~~~~~~(II)[/tex]
Din (I) și (II) [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]m\in [(-\infty;-2)\cup(-1;\infty)]\cap[(-\infty;-10)\cup (0;\infty)] \Leftrightarrow \\\\m\in(-\infty;-10)\cup(0:\infty)[/tex]
