👤
a fost răspuns

a) Aratati ca numarul A=1+2^1+2^2+...+2^62 este divizibil cu 7.
Suma data are 63 de termeni,care pot fi grupati cate 3.
Avem 1+2^1+2^2=7
2^3+2^4+2^5=2^3*7,...,2^60+2^61+2^62=2^60*7
In concluzie,A=7*(1+2^3+...+2^60)divizibil cu 7
b)Aratati ca numarul B=1+3^1+3^2+...+3^61 este divizibil cu 4
c)Aratati ca numarul C=1+2^1+2^2+...+2^71 este divizibil cu 5
(^)-la puterea
(*)-inmultire

Răspuns :

SIMULINKEZ
Rezolvarile la B si C in atasament. Un numar e divizibil cu n daca se poate scrie ca n* ceva.
Ideea este sa grupezi termenii sumei convenabil si sa dai factor comun astfel incat in paranteze sa obtii acel numar cu care vrei sa arati ca este divizibila suma. Apoi dai factor comun numarul obtinut in paranteza si gata.
Vezi imaginea SIMULINK
   
[tex]b)\\ B=1+3^1+3^2+3^4+ \cdots +3^{60}+3^{61} ~\vdots~ 4\\ \text{Observam ca suma primilor 2 termeni: } 1+3 = 4~\vdots~ 4 \\ n = 62 \text{ de termeni si } 62 ~\vdots ~2\\ \text{Vom grupa sirul in grupe de cate 2 termeni.}\\ B=(1+3^1)+(3^2+3^4)+ \cdots +(3^{60}+3^{61})\\ \text{Dam factor comun.}\\ B=1(1+3)+3^2(1+3)+ \cdots +3^{60}(1+3})=\\=(1+3)(1+3^2+ \cdots +3^{60}) = \boxed{4(1+3^2+ \cdots +3^{60})~\vdots~4}[/tex]


[tex]c)\\ C=1+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7...+2^{68}+2^{69}+2^{70}+2^{71} ~\vdots~ 5\\ \text{Observam ca suma primilor 4 termeni: } 1+2^1+2^2+2^3 = 15~\vdots~ 5 \\ n = 72 \text{ de termeni si } 72 ~\vdots ~4\\ \text{Vom grupa sirul in grupe de cate 4 termeni.}\\ (1+2^1+2^2+2^3)+(2^4+2^5+2^6+2^7)+...+(2^{68}+2^{69}+2^{70}+2^{71})\\ \text{Dam factor comun.}\\ 1(1+2+2^2+2^3)+2^4(1+2+2^2+2^3)+ \cdots +2^{68}(1+2+2^2+2^3)=\\ =(1+2+2^2+2^3)(1+2^4+ \cdots +2^{68}) = \boxed{15(1+2^4+ \cdots +2^{68})~\vdots~5} [/tex]



Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile disponibile v-au fost utile și inspiraționale. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, suntem aici pentru a vă ajuta. Ne face plăcere să vă revedem și vă invităm să adăugați site-ul nostru la favorite pentru acces rapid!


Ez Studiers: Alte intrebari