[tex]\it \Big|\dfrac{x-1}{x+2}\Big| + \Big|\dfrac{x+2}{x-1}\Big| \leq2 \Leftrightarrow \dfrac{|x-1|}{|x+2|} + \dfrac{|x+2|}{|x-1|} \leq2[/tex]
Notăm |x - 1| = a, |x + 2| = b, iar inecuația devine:
[tex]\it \dfrac{a}{b} +\dfrac{b}{a} \leq2 \Rightarrow a^2+b^2 \leq 2ab\Rightarrow a^2+b^2-2ab \leq0\Rightarrow (a-b)^2 \leq0
\\\;\\ \\\;\\
Dar,\ \ (a-b)^2 \geq0,\ \forall \ a,\ b \in \mathbb{R}[/tex]
Avem, deci, următoarele două relații :
[tex]\it (a-b)^2 \leq0\ \ \ \ \ (1)
\\\;\\
(a-b)^2 \geq0\ \ \ \ \ (2)
\\\;\\
Din\ (1),\ (2) \Rightarrow (a-b)^2 = 0 \Rightarrow a-b = 0 \Rightarrow a = b [/tex]
Revenim asupra notației și rezultă:
|x - 1| = |x + 2| ⇒ x - 1 = ± (x + 2)
I) x - 1 = -(x + 2) ⇒ x - 1 = -x - 2 ⇒ x+x = -2+1⇒2x = -1⇒ x = -1/2
II) x - 1 = +(x + 2) ⇒ x - 1 = x + 2 ⇒ x - x = 2+1⇒ 0x =3 (imposibil)
Prin urmare, inecuația dată are mulțimea soluțiilor S = {-1/2}.
