Calculam derivata functiei f [tex]f\prime(x)=\frac{2\ln{x}x*\frac{1}{x}-\ln^{2}{x}}{x^{2}}[/tex] Stii ca semnul derivatei unei functii iti dai informatii despre monotonia functiei. Daca derivata este pozitiva, atunci functia este crescatoare, daca derivata da valori negative, atunci functia este descrescatoare. Vedem ce semne da derivata pentru x>1. Mai intai aflam punctele de extrem. pentru care derivata da 0. [tex]f\prime(x)=0\Rightarrow 2\ln{x}-\ln^{2}{x}=0\Rightarrow \ln{x}(2-\ln{x})=0[/tex] de unde avem 2 solutii [tex]\ln{x}=0\Rightarrow x=1[/tex] [tex]2-\ln{x}=0\Rightarrow \ln{x}=2\Rightarrow x=e^{2}[/tex] Avem atunci 2 cazuri mari I) x>1 si [tex]x<e^{2}[/tex] pentru care avem [tex]\ln{x}>0[/tex] si [tex]2-ln{x}>0[/tex] deci per total [tex]f\prime(x)>0[/tex] deci functia este crescatoare pe acest interval 2) [tex]x>e^{2}[/tex] atunci avem [tex]\ln{x}>0[/tex] si [tex]2-ln{x}<0[/tex] deci [tex]f\prime(x)<0[/tex] atunci functia este descrescatoare pe acest interval. Deci functia creste pana la [tex]x=e^{2}[/tex] si apoi scade de la acea valoare cand x>1, adica punctul respectiv este maximum [tex]f(x)<f(e^{2})[/tex] adica [tex]\frac{\ln^{2}{x}}{x}<\frac{\ln^{2}{e^{2}}}{e^{2}}\Rightarrow \frac{ln^{2}{x}}{x}<\frac{4}{e^{2}}\Rightarrow \frac{\ln{x}}{\sqrt{x}}<\frac{2}{e}\Rightarrow e\ln{x}<2\sqrt{x}[/tex]
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile disponibile v-au fost utile și inspiraționale. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, suntem aici pentru a vă ajuta. Ne face plăcere să vă revedem și vă invităm să adăugați site-ul nostru la favorite pentru acces rapid!
