Salut,
O indicație de rezolvare. Conform enunțului, oricare dintre logaritmi are numai valori pozitive, pentru că atât baza, cât și argumentul logaritmului aparțin intervalelor (0, 1) SAU (1, +∞). Observația este foarte importantă.
Dacă desfacem fiecare logaritm (pe baza regulii că logaritm de produs este suma logaritmilor), obținem n--1 termeni.
În total, pentru toată expresia E avem n logaritmi de desfăcut, deci numărul de termeni după desfacere este n(n -- 1).
După desfacere, grupăm logaritmii, astfel încât să obținem o pereche de genul:
[tex]log_ab+logb_a[/tex]
Vom obține deci n(n -- 1)/2 perechi. Din fericire, nu va exista niciun logaritm care să nu își găsească perechea.
Fiecare termen al perechii este pozitiv (vezi observația de mai sus), deci putem aplica inegalitatea mediilor, adică:
[tex]log_ab+logb_a=log_ab+\dfrac{1}{log_ab}\geqslant 2\sqrt{log_ab\cdot\dfrac{1}{log_ab}}=2.[/tex]
Dacă fiecare pereche are valoarea minimă 2, atunci valoarea minimă a tuturor celor n(n -- 1)/2 perechi este chiar n(n -- 1).
Aceasta este deci valoarea minimă a lui E.
Simplu, nu ? :-).
Green eyes.
