14.
a = mere
b = pere
c = prune
a = 3*b
c = 7*a
a+b+c = max 98
=> 3b + b + 7a = max 98
=> 3b + b + 7(3b) = max 98
=> 4b + 21b = max 98
=> 25b = max 98
=> b = 98 : 25 = 3 rest 23
Doar că va rămâne doar numărul, fără rest, pentru că b fiind maxim 98, el poate fi și mai mic (în cazul de față 75)
b = 3 (pere)
a = 3*3 = 9 (mere)
c = 7*9 = 64 (prune)
Verificare:
a+b+c = 753+9+64 = 75 (Verificat)
15.
a - nr de elevi din prima clasă acum
b - nr de elevi din a doua clasă acum
dacă s-ar muta 2 din prima în a doua, atunci
prima clasă ar avea a-2 elevi
iar a doua ar avea b+2 elevi
în cazul mutării, prima ar avea cu 2 elevi mai mult decât a doua, adică
prima - 2 = a doua
(a-2) - 2 = (b+2)
=> a - 4 = b + 2
=> a = b + 6
a + b = 54 (din cerință)
înlocuim a:
b+6 + b = 54
=> 2b + 6 = 54
=> 2b = 48
=> b = 24
=> a = b+6 = 24+6 = 30
Verificare:
a+b = 24+30 = 54 (Verificat)
16.
n - numărul de mere
x - numărul de copii
Un copil a primit 3 mere, și restul (x fără primul, adică x-1) a primit 5.
Adică numărul de mere este egal cu aceste mere date copiilor:
n = 3 + (x-1)*5
n = 3 + 5x - 5
n = 5x - 2
Dacă fiecare copil ar fi primit câte 4 mere, ar fi rămas 11 mere. Adică dacă am împărți numărul de mere la 4, am afla câți copii sunt și am primi și un rest de 11. Ca să scăpăm de rest, să-l scoatem din numărul de mere:
(n-11) : 4 = x
=> n-1 = 4x
Înlocuim n cu cel aflat înainte:
5x-2 - 1 = 4x
=> 5x - 3 = 4x
=> 5x = 4x + 3
=> 5x - 4x = 3
=> x = 3
deci există 3 copii
Acum să aflăm și numărul de mere din primele ecuații:
n = 5x - 2 = 5*3 - 2 = 15-2 = 13
Deci sunt 13 mere și 3 copii.
Verificare:
Dacă primului copil am da 3 mere, ar mai rămâne 10, și 2 copii la care trebuie date mere. Celor 2 copii le dăm câte 5 și nu mai rămâne niciun măr.
17.
a, b, c - cantitățile inițiale (nu se schimbă)
a+b+c = 600
Dacă am muta din primul 20 în al doilea, și tot tin primul 25 în al treilea, atunci
primul ar avea a - 20 - 25
al doilea b + 20
iar al treila c + 25
Și în cazul ăsta cantitățile ar fi egale, adică:
a - 20 - 25 = b + 20 = c + 25
a - 45 = b + 20 = c + 25
Luăm doar 2:
a - 45 = b + 20
a = b + 20 + 45
a = b + 65
a - 65 = b
b = a - 65
Apoi alte 2:
a - 45 = c + 25
a = c + 25 + 45 = c + 70
a = c + 70
a - 70 = c
c = a - 70
Din cerință
a+b+c = 600
înlocuim b și c:
a + a-65 + a-70 = 600
a + a + a - 65 - 70 = 600
3a - 135 = 600
3a = 600+135
3a = 735
a = 735:3 = 245
a = 245
b = a - 65 = 245 - 65 = 180
b = 180
c = a - 70
c = 245 - 70 = 175
c = 175
Verificare:
Dacă scoatem din primul 20 și 25
Primul ar avea:
245 - 45 = 200
Și punem în al doilea 20
Al doilea ar avea:
180 + 20 = 200
Și în al 3lea punem 25
Al treilea ar avea:
175 + 25 = 200
Atunci ar avea cantități egale: 200, 200, 200 (Verificat)
18.
a = apartamente cu 2 camere
b = apartamente cu 3 camere
a + b = 28
2*a + 3*b = 76
a + b = 28
a = 28 - b
înlocum în a doua:
2*(28-b) + 3*b = 76
2*28 - 2b + 3b = 76
56 + 3b - 2b = 76
56 + b = 76
b = 76 - 56
b = 20 de apartamente cu 3 camere
a = 28 - b = 28 - 20 = 8
a = 8 apartamente cu 2 camere
Verificare
2*8 + 3*20 = 76 (Verificat)
19.
g = nr. găini la început (nu se schimbă)
r = nr. rațe la încept (nu se schimbă)
g = 5*r
Dacă ar vinde 5 găini, găinile ar fi:
g - 5
Și dacă ar cumpăra 3 rațe, atunci rațele ar fi:
r + 3
În acest caz (în care ar fi cumpărate/vândute), numărul acesta al găinilor ar fi de 3 ori mai mare decât al rațelor:
găini = 3*rațe
adică:
(g-5) = 3*(r+3)
g - 5 = 3r + 9
g = 3r + 9 + 5
g = 3r + 14
g = 5*r (din cerință)
Egalăm cele două
3r + 14 = 5r
14 = 5r - 3r
14 = 2r
r = 14:2 = 7
r = 7 rațe
g = 5*r = 5*7 = 35
g = 35 de găini
Verificare:
dacă vinde 5 găini, are 30
dacă cumpără 3 rațe, are 10
10 * 3 = 30 (Verificat)
20.
c = nr. răspunsuri corecte
g = nr. răspunsuri greșite
c + g = 10
c*25 - g*15 = 130
25c - 15g = 130
g = 10 - c
Înlocui g-ul în a doua:
25c - 15(10 - c) = 130
25c - (150 - 15c) = 130
25c - 150 + 15c = 130
40c - 150 = 130
40c = 130 + 150
40c = 280
c = 280 : 40 = 7
c = 7 răspunsuri corecte
c + g = 10
7 + g = 10
g = 10 - 7
g = 3 răspunsuri greșite
Verificare:
7 răsp. corecte => 7*25 puncte adăugate = 175 pct adăugate
3 răsp. greșite => 3*15 puncte scăzute = 45 pct scăuze
pct final = 175 - 45 = 130 puncte (Verificat)
