Desenăm patrulaterul oarecare ABCD și fixăm O₁, O₂, mijloacele lui AC,
respectiv BD. Construim vectorul [tex]\it \overline{O_1O_2}[/tex]
a)
[tex]\it \overline{O_1O_2} = \overline{O_1A} + \overline{AO_2} \Rightarrow \overline{O_1O_2} = \overline{O_1A} + \overline{AD}+\overline{DO_2} \ \ \ \ \ \ (1)
\\\;\\ \\\;\\
\overline{O_1O_2} =\overline{O_1C} + \overline{CO_2} \Rightarrow \overline{O_1O_2} =\overline{O_1C} + \overline{CB}+\overline{BO_2} \ \ \ \ \ \ (2) [/tex]
[tex]\it (1), (2) \Rightarrow 2\overline{O_1O_2} = \overline{O_1A} + \overline{AD} + \overline{DO_2} + \overline{O_1C} + \overline{CB}+\overline{BO_2} \Rightarrow
\\\;\\
\Rightarrow 2\overline{O_1O_2} = \overline{AD} +\overline{CB} = \overline{AD} -\overline{BC} \Rightarrow \overline{O_1O_2} = \dfrac{\overline{AD} -\overline{BC}}{2}[/tex]
Vectorii opuși s-au redus : [tex]\it \overline{O_1A}\ cu \overline{O_1C}, \ \ \overline{DO_2} \ cu\ \overline{BO_2}[/tex]
b)
[tex]\it \overline{AD} +\overline{CB} = 3\overline{O_1O_2} \Leftrightarrow 2 \overline{O_1O_2} = 3 \overline{O_1O_2} \Leftrightarrow \overline{0} = 3 \overline{O_1O_2} - 2 \overline{O_1O_2} \Leftrightarrow
\\\;\\
\Leftrightarrow \overline{O_1O_2} = \overline{0} \Leftrightarrow O_1 \ coincide\ cu\ O_2 \Leftrightarrow ABCD - paralelogram[/tex]
Dacă punctul de intersecție al diagonalelor este mijlocul fiecărei diagonale, atunci patrulaterul ABCD este paralelogram.
