O progresie aritmetica are termenul general de forma:
[tex]x_n=x_1+(n-1)r\ \ , \ \forall n\in N\ , n>1\ , \ x_1,r\in R[/tex]
Diferenta dintre doi termeni consecutivi este ratia, aceasta fiind constanta:
[tex]x_{n+1}-x_n=(x_1+n\cdot r)-(x_1+(n-1)r)=x_1-x_1+n\cdot r - (n-1)r\\
=r(n-n+1) = r[/tex]
Reciproca este adevarata, astfel, daca diferenta dintre oricare doua numere consecutive din sir este o constanta, care nu depinde de n, atunci sirul este o progresie aritmetica.
[tex]a_n=3n+\frac{2}{4}\\
a_{n+1}-a_n=3(n+1)+\frac{2}{4}-3n-\frac{2}{4} = 3n+3-3n=3[/tex]
3 este o constanta ==> an este o progresie aritmetica
[tex]b_n=5-\frac{4n}{3}=\frac{15-4n}{3}\\
b_{n+1}-b_n=\frac{15-4(n+1)}{3}-\frac{15-4n}{3}=\frac{15-4n-4-15+4n}{3}=\frac{4}{3}[/tex]
bn este progresie aritmetica
[tex]c_n=\frac{n-1}{n+1}\\
c_{n+1}-c_n=\frac{(n+1)-1}{(n+1)+1}-\frac{n-1}{n+1}=\frac{n}{n+2}-\frac{n-1}{n+1}=\frac{n(n+1)-(n-1)(n+2)}{(n+1)(n+2)}[/tex]
De data asta diferenta nu mai este constanta. Ar fi trebuit ca numaratorul fractiei sa poata fi scris ca produs dintre (n+1)(n+2) si o constanta, ca sa se simplifice.
Concluzie: cn nu este progresie aritmetica
[tex]d_n=(-1)^n+\frac{4n}{2}=(-1)^n+2n\\
d_{n+1}-d_n=(-1)^{n+1}+2(n+1)-(-1)^n-2n=\\
=(-1)^n\cdot(-1)-(-1)^n+2n+2-2n=(-1)^n((-1)-1)+2=\\
=-2(-1)^n+2[/tex]
Nici aici diferenta nu este constanta ==> dn nu este progresie aritmetica
[tex]x_n=n+3^n\\
x_{n+1}-x_n=(n+1)+3^{n+1}-n-3^n=3^n\cdot3-3^n+1=3^n\cdot2+1[/tex]
xn nu este progresie aritmetica
