Răspuns :
A = {x ∈ R| x = a + 1/a; a ∈ R*}
Rezolvăm ecuația x = a + 1/a , cu necunoscuta a ∈ R*.
[tex]\it x= a+\dfrac{1}{a}|_{\cdot a} \Rightarrow ax =a^2+1 \Rightarrow a^2-ax+1=0 \\\;\\ \\\;\\ \Delta =x^2-4 \geq0 \Rightarrow x^2-2^2 \geq0 \Rightarrow (x-2)(x+2) \geq 0 \Rightarrow \\\;\\ \\\;\\ \Rightarrow x\in \mathbb{R}^*\backslash (-2,\ 2)[/tex]
Prin urmare, mulțimea dată este :
A = (∞, -2) ∪ (2, ∞)
--------------------------
Altă soluție :
[tex]\it a\in\mathbb{R}^* \Longrightarrow a\ \textless \ 0\ \ sau\ \ a\ \textgreater \ 0[/tex]
I) Pentru oricare a < 0, vom arăta că a + 1/a ≤ -2
Înmulțim inecuația cu a, negativ, care va schimba sensul inegalității:
a + 1/a ≤ -2 |·a ⇔ a² + 1 ≥ -2a ⇔ a² +2a +1 ≥ 0 ⇔ (a + 1) ≥ 0 (Adevărat)
II) Pentru oricare a > 0, vom arăta că a + 1/a ≥ 2
a + 1/a ≥ 2 |·a ⇔ a² + 1 ≥ 2a ⇔ a² - 2a +1 ≥ 0 ⇔ (a - 1) ≥ 0 (Adevărat)
Deci, pentru oricare număr a real nenul, avem că:
a+1/a ≤ -2 sau a+1/a ≥ 2 și cum a+1/a = x din enunț,
obținem mulțimea A = (∞, -2) ∪ (2, ∞)
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile disponibile v-au fost utile și inspiraționale. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, suntem aici pentru a vă ajuta. Ne face plăcere să vă revedem și vă invităm să adăugați site-ul nostru la favorite pentru acces rapid!